Question

【題目】設(shè)函數(shù)，

（1）當為自然對數(shù)的底數(shù)時，求的極小值；

（2）討論函數(shù)零點的個數(shù)；

（3）若對任意，恒成立，求m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）當時，函數(shù)無零點；當或時，函數(shù)有且只有一個零點；當時，函數(shù)有兩個零點；（3），．

【解析】

（1）時，，利用判定的增減性并求出的極小值；

（2）由函數(shù)，令，求出；設(shè)，求出的值域，討論的取值，對應(yīng)的零點情況；

（3）由，恒成立，等價于恒成立，即在上單調(diào)遞減；，求出的取值范圍．

解：（1）當時，，

；

當時，，在上是減函數(shù)；

當時，，在上是增函數(shù)；

時，取得極小值為；

（2）函數(shù)，

令，得；

設(shè)，

；

當時，，在上是增函數(shù)，

當時，，在上是減函數(shù)；

是的極值點，且是極大值點，

是的最大值點，

的最大值為（1）；

又，結(jié)合的圖象，如圖；

可知：①當時，函數(shù)無零點；

②當時，函數(shù)有且只有一個零點；

③當時，函數(shù)有兩個零點；

④當時，函數(shù)有且只有一個零點；

綜上，當時，函數(shù)無零點；

當或時，函數(shù)有且只有一個零點；

當時，函數(shù)有兩個零點；

（3）對任意，恒成立，

等價于恒成立；

設(shè)，

則．

在上單調(diào)遞減；

在上恒成立，

，

；

對于，僅在時成立；

的取值范圍是，．