Question

【題目】已知定義在R上的函數(shù)f（x）=x2|x﹣a|（a∈R）．21世紀(jì)教育網(wǎng)
（1）判定f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）當(dāng)a≠0時(shí)，是否存在一點(diǎn)M（t，0），使f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解： a=0時(shí)，f（x）為偶函數(shù)；a≠0時(shí)，f（x）為非奇非偶函數(shù)．

（2）解：不存在．

假設(shè)存在一點(diǎn)M0（t0，0）使f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，

則對(duì)x∈R應(yīng)恒有f（t0+x）=﹣f（t0﹣x）．

當(dāng)t0=a時(shí)，取x=a，

則f（2a）=﹣f（0）=0，∴4a2|a|=0，∴a=0這與a≠0矛盾．當(dāng)t0≠a時(shí)，

取x=a﹣t0，

則f（a）=﹣f（2t0﹣a）=0．∴（2t0﹣a）2|2t0﹣2a|=0，∵2t0﹣2a≠0，∴ ．而 時(shí)，取x=0，

則 即 ．∴ 這也與已知矛盾．

綜上，不存在這樣的點(diǎn)M．

【解析】分析：（1）根據(jù)f（x）=x2|x﹣a|（a∈R），可對(duì)a分類討論，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷；（2）可假設(shè)存在一點(diǎn)M（t0 ， 0）使f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，故f（t0+x）=﹣f（t0﹣x）；分當(dāng)t0=a時(shí)，取x=a，有f（2a）=﹣f（0）=0，從而可得a=0，導(dǎo)出矛盾；
當(dāng)t0≠a時(shí)，取x=a﹣t0 ， f（a）=﹣f（2t0﹣a）=0，可解得 ，再取x=0，從而可得a=0，導(dǎo)出矛盾；于是可得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的奇偶性的相關(guān)知識(shí)，掌握偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．