Question

設函數f（x）=|x²-2x|．
（1）在區間[-1，4]上畫出函數f（x）的圖象；
（2）根據圖象寫出該函數在[-1，4]上的單調區間；
（3）試討論方程f（x）=a在區間[-1，4]上實數根的情況，并加以簡要說明．

Answer 1

【答案】分析：（1）f（x）=|x²-2x|=|（x-1）²-1|，可得在區間[-1，4]上函數f（x）的圖象；
（2）根據圖象，結合函數單調性的定義，可得函數在[-1，4]上的單調區間；
（3）考查y=f（x）與y=a的交點情況，可得結論．
解答：解：（1）f（x）=|x²-2x|=|（x-1）²-1|，在區間[-1，4]上函數f（x）的圖象，如圖所示
（2）函數的單調減區間為（-1，0），（1，2），單調增區間為（0，1），（2，4）；
（3）由圖象可知，a＜0或a＞8時，方程無實數根；3＜a≤8時，方程有一個實數根；a=0或1＜a≤3時，方程有兩個實數根；a=1時，方程有三個實數根；0＜a＜1時，方程有四個實數根．
點評：本題考查函數的圖象，考查函數的單調性，考查方程根的討論，屬于中檔題．