Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）討論的單調性；

（Ⅱ）設，若對，，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） ，在上單調遞增， ，在上單調遞減，在上單調遞增；（Ⅱ）.

【解析】

試題（Ⅰ）求出的定義域為，求導數，若，若，判斷導函數的符號，然后推出函數的單調性；（Ⅱ）不妨設，而，由（Ⅰ）知，在上單調遞增，從而，等價于，，令，通過函數的導數求解函數的最值，推出結果.

試題解析：（Ⅰ）的定義域為，求導數，得.若，則，此時在上單調遞增，若，則由，得.當時，；但時，，此時在上單調遞減，在上單調遞增.

（Ⅱ）不妨設，而，由（Ⅰ）知，在上單調遞增，∴.

從而，等價于，①，令，則，因此，①等價于在上單調遞減，∴對恒成立，∴對恒成立，∴.又，當且僅當，即時，等號成立，∴，故的取值范圍為.