Question

【題目】已知圓，直線， .

（1）求證：對，直線與圓總有兩個不同的交點；

（2）求弦的中點的軌跡方程，并說明其軌跡是什么曲線；

（3）是否存在實數，使得原上有四點到直線的距離為？若存在，求出的范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）M的軌跡方程是，它是一個以為圓心，以為半徑的圓；（3）或.

【解析】【試題分析】（1）依據題設可以運用圓心與直線的距離或考慮動直線過定點分析判斷；（2）借助題設條件運用圓心與弦中點的連線與直線垂直建立方程求解；（3）依據題設借助圖形的直觀，運用圓心距與直線的位置和數量關系建立不等式：

（1）圓的圓心為，半徑為，所以圓心C到直線的距離．

所以直線與圓C相交，即直線與圓總有兩個不同的交點；

或：直線的方程可化為，無論m怎么變化，直線過定點，由于，所以點是圓C內一點，故直線與圓總有兩個不同的交點．

（2）設中點為，因為直線恒過定點，

當直線的斜率存在時， ，又， ，

所以，化簡得．

當直線的斜率不存在時，中點也滿足上述方程．

所以M的軌跡方程是，它是一個以為圓心，以為半徑的圓．

(3) 假設存在直線，使得圓上有四點到直線的距離為，由于圓心，半徑為，則圓心到直線的距離為

化簡得，解得或．