Question

【題目】設是實數，函數．

（Ⅰ）討論函數的單調區間；

（Ⅱ）設定義在上的函數在點處的切線方程為，當時，若在內恒成立，則稱點為函數的“平衡點”．當時，試問函數是否存在“平衡點”？若存在，請求出“平衡點”的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時，的減區間為；當時，的減區間為，增區間為；（Ⅱ）不存在.

【解析】

（Ⅰ）求導，得到，討論的范圍得到答案.

（Ⅱ）求得切線方程為，令

，計算得到當時，，故沒有平衡點。

（I）,

當時，在上恒成立；

當時，在時，，在時，，

當時，的減區間為

當時，的減區間為，增區間為.

（II）設為函數圖象上一點

則函數在點處的切線方程為

即,

令－

則

當時，，當時，

即函數 在上減函數，在上為增函數，

當時，

當時，,

因此，函數 在上不存在“平衡點”.