Question

已知橢圓，直線l與橢圓C相交于A、B兩點，若以AB為直徑的圓經過坐標原點．
（1）試探究：點O到直線AB的距離是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由；
（2）求△AOB面積S的最小值．

Answer 1

解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
①當直線AB斜率不存在時，由橢圓的對稱性可知x₁=x₂，y₁=-y₂，
∵以AB為直徑的圓D經過坐標原點，∴
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴x₁²-y₁²=0
∵x₁²+4y₁²=4，∴|x₁|=|y₁|=
∴原點O到直線的距離為d=|x₁|=
②當直線AB斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，消元可得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0
∴x₁+x₂=-，x₁x₂=
∵以AB為直徑的圓D經過坐標原點，∴
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴（1+k²）-km×+m²=0
∴5m²=4（k²+1）
∴原點O到直線的距離為d==
綜上，點O到直線AB的距離為定值；
（2）由（1）可知，在直角△OAB中，點O到直線AB的距離|OH|=，設∠OAH=θ，則∠BOH=θ
∴|OA|=，|OB|=
∴|OA||OB|=
∴2θ=，即時，|OA||OB|取得最小值為
∴△AOB面積S的最小值為
分析：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），分類討論：①當直線AB斜率不存在時，由橢圓的對稱性，可求原點O到直線的距離；②當直線AB斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，利用韋達定理及點到直線的距離公式，即可得到結論；
（2）利用三角函數表示出|OA|，|OB|，進而可求|OA||OB|的最小值，從而可求△AOB面積S的最小值．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查圓與橢圓的綜合，聯立方程，利用韋達定理是解題的關鍵．