Question

已知橢圓過點(diǎn)，離心率，若點(diǎn)M（x，y）在橢圓C上，則點(diǎn)稱為點(diǎn)M的一個(gè)“橢點(diǎn)”，直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、B的“橢點(diǎn)”分別是P、Q，且以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C的右頂點(diǎn)為D，上頂點(diǎn)為E，試探究△OAB的面積與△ODE的面積的大小關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接把給出的點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，結(jié)合離心率及隱含條件a²=b²+c²聯(lián)立方程組求解a²，b²的值，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出A，B的坐標(biāo)，根據(jù)新定義得到P，Q的坐標(biāo)，當(dāng)斜率存在時(shí)設(shè)出直線方程y=kx+m，聯(lián)立直線和橢圓方程后利用根與系數(shù)關(guān)系求得x₁+x₂，x₁x₂，再由以PQ為直徑的圓過原點(diǎn)得到A，B的坐標(biāo)之間的關(guān)系3x₁x₂+4y₁y₂=0，轉(zhuǎn)化為橫坐標(biāo)的關(guān)系后代入x₁+x₂，x₁x₂，即可把直線的斜率用截距表示，然后利用弦長公式求出AB的長度，用點(diǎn)到直線的距離公式求出O點(diǎn)到AB的距離，利用整體運(yùn)算就能求得三角形OAB的面積，斜率不存在時(shí)直線方程可直接設(shè)為x=m，和橢圓方程聯(lián)立求出y²，同樣代入3x₁x₂+4y₁y₂=0后可直接求出m的值，則三角形面積可求．
解答：解：（1）由已知得：，即，
 解得a²=4，b²=3，所以橢圓方程為；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
1°當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y=kx+m
 聯(lián)立得：（3+4k²）x²+8kmx+4（m²-3）=0．
則有△=（8km）²-4（3+4k²）×4（m²-3）=48（3+4k²-m²）＞0
①
由以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O可得：
，即3x₁x₂+4y₁y₂=0•
把y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m代入整理得：
  ②
將①式代入②式得：3+4k²=2m²，
∵3+4k²＞0，∴m²＞0，
則△=48m²＞0．
又點(diǎn)O到直線y=kx+m的距離．
∴==

所以
2°當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)方程為x=m（-2＜m＜2）
聯(lián)立橢圓方程得：
代入3x₁x₂+4y₁y₂=0得到，即，y=．

綜上：△OAB的面積是定值．
又，所以二者相等．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線和圓錐曲線的綜合，考查了弦長公式的用法，訓(xùn)練了直線和圓錐曲線關(guān)系中的設(shè)而不求的解題方法，體現(xiàn)了整體運(yùn)算思想，訓(xùn)練了學(xué)生的計(jì)算能力，該題是有一定難度問題．