Question

（2013•懷化三模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過點(

3

，

3

2

)，離心率e=

1

2

，若點M（x₀，y₀）在橢圓C上，則點N(

x0

a

，

y0

b

)稱為點M的一個“橢點”，直線l交橢圓C于A、B兩點，若點A、B的“橢點”分別是P、Q，且以PQ為直徑的圓經過坐標原點O．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C的右頂點為D，上頂點為E，試探究△OAB的面積與△ODE的面積的大小關系，并證明．

Answer 1

分析：（1）直接把給出的點的坐標代入橢圓方程，結合離心率及隱含條件a²=b²+c²聯立方程組求解a²，b²的值，則橢圓方程可求；
（2）設出A，B的坐標，根據新定義得到P，Q的坐標，當斜率存在時設出直線方程y=kx+m，聯立直線和橢圓方程后利用根與系數關系求得x₁+x₂，x₁x₂，再由以PQ為直徑的圓過原點得到A，B的坐標之間的關系3x₁x₂+4y₁y₂=0，轉化為橫坐標的關系后代入x₁+x₂，x₁x₂，即可把直線的斜率用截距表示，然后利用弦長公式求出AB的長度，用點到直線的距離公式求出O點到AB的距離，利用整體運算就能求得三角形OAB的面積，斜率不存在時直線方程可直接設為x=m，和橢圓方程聯立求出y²，同樣代入3x₁x₂+4y₁y₂=0后可直接求出m的值，則三角形面積可求．

解答：解：（1）由已知得：

( 3 )2 a2 + ( 3 2 )2 b2 =1 a2=b2+c2 c a = 1 2

，即

3 a2 + 3 4b2 =1 a2=b2+c2 a=2c

，
 解得a²=4，b²=3，所以橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

+1；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則P(

x1

2

，

y1

3

)，Q(

x2

2

，

y2

3

)
1°當直線l的斜率存在時，設方程為y=kx+m
 聯立

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

得：（3+4k²）x²+8kmx+4（m²-3）=0．
則有△=（8km）²-4（3+4k²）×4（m²-3）=48（3+4k²-m²）＞0

x1+x2= -8km 3+4k2 x1x2= 4(m2-3) 3+4k2

①
由以PQ為直徑的圓經過坐標原點O可得：

OP

•

OQ

=(

x1

2

，

y1

3

)•(

x2

2

，

y2

3

)=

x1x2

4

+

y1y2

3

=0，即3x₁x₂+4y₁y₂=0•
把y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m代入整理得：
(3+4k2)x1x2+4km(x1+x2)+4m2=0  ②
將①式代入②式得：3+4k²=2m²，
∵3+4k²＞0，∴m²＞0，
則△=48m²＞0．
又點O到直線y=kx+m的距離d=

|m|

1+k2

．
∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

4 3 3+4k2-m2

3+4k2

=

1+k2

4 3 |m|

3+4k2

=

1+k2

4 3 |m|

2m2

所以S△OAB=

1

2

|AB|d=

2 3 m2

2m2

=

3

2°當直線l的斜率不存在時，設方程為x=m（-2＜m＜2）
聯立橢圓方程得：y2=

3(4-m2)

4

代入3x₁x₂+4y₁y₂=0得到3m2-

3(4-m2)

4

=0，即m=±

2 5

5

，y=±

2 15

5

．
S△OAB=

1

2

|AB|d=

1

2

|m||y1-y2|=

3

綜上：△OAB的面積是定值

3

．
又S△ODE=

1

2

×2×

3

=

3

，所以二者相等．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線和圓錐曲線的綜合，考查了弦長公式的用法，訓練了直線和圓錐曲線關系中的設而不求的解題方法，體現了整體運算思想，訓練了學生的計算能力，該題是有一定難度問題．