Question

【題目】如圖， 平面平面, 是等邊三角形， 是的中點.

(1)證明： ；

(2)若直線與平面所成角的余弦值為，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）由是等邊三角形， 是的中點，可得,利用直線與平面垂直的判定定理得出直線與平面垂直，再利用直線與平面垂直的性質定理證明線線垂直；（2）以點為坐標原點， 所在直線為軸， 所在直線為軸，過且與直線平的直線為軸，建立空間直角坐標系，根據直線與平面所成的角的余弦值為.可得，不妨設,利用向量垂直數量積為零，分別求出平面與平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得二面角的余弦值，進而可得正弦值.

試題解析：（1）因為是等邊三角形， 是的中點，所以,因為平面平面，所以，因為,所以平面，因為平面，所以.

(2)解法1: 以點為坐標原點， 所在直線為軸， 所在直線為軸，過且與直線平的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

因為平面，所以為直線與平面所成的角.

由題意得,,

即，從而.不妨設,又,則.

故.

于是,

設平面與平面的法向量分別為,

由令,得

由令,得.

.

.故二面角的正弦值為1.

(2)解法2： 平面為直線與平面所成的角.

由題意得,

即，從而.

不妨設,又,則， .

由于平面， 平面，則.

取的中點，連接，則.

在中， ,

在中， ,

在中， ,

取的中點，連接,則.

所以為二面角的平面角.

在中， ,

在中， ,

在中， ,

.

故二面角的正弦值為1.

【方法點晴】本題主要考查線面垂直的判定與性質，以及利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.