Question

如圖，菱形ABCD中，∠DAB=60°，AC∩BD=O，PO⊥平面ABCD，PO=AO=，點E在PD上，PE：ED=3：1．

(Ⅰ)證明：PD上平面置EAC；

(Ⅱ)求二面角A-PD-C的余弦值；

(Ⅲ)求點B到平面PDC的距離．

Answer 1

解法一：(Ⅰ)∵PO⊥平面ABCD，∴OD為PD在平面ABCD內的射影．

又ABCD為菱形，∴AC⊥OD，

∴AC⊥PD，即PD⊥AC

在菱形ABCD中，∵∠DAB=60°，

∴OD=AO·cot60°=1

在Rt△POD中，PD==2，由PE=ED=3：1，

得DE=PD=，又∠PDO=60°

∴OE²=OD²+DE²-2OD·DEcos60°=

∴OE²+DE²=OD²，

∴∠OED=90°，即PD⊥OE

∴PD⊥平面EAC

(Ⅱ)由(1)知PD⊥EA，PD⊥EC，則之AEC為二面角A-PD-C的平面角

tan∠AEO==2，易知OE為AC的垂直平分線，所以∠AEC=2∠AEO，

∴cos∠AEC=cos2∠AEO-sin2∠AEO=

=

(Ⅲ)由O為BD的中點，知點B到平面PDC的距離等于點O到平面PDC距離的2倍，由(Ⅰ)知，平面OEC⊥平面PDC，作OH⊥CE，垂足為H，則OH⊥平面PDC，在Rt△OEC中，

∠EOC=90°，OC=，OE=，EC=，

∴OH=

所以點B到平面PDC的距離為

解法二：建立如圖所示的坐標系O-xyz，其中A(0，，0)，B(1，0，0)，C(0，，0)，D(-1，0，0)，P(0，0，)．

(Ⅰ)由PE：ED=3：1，知E()

∵=(1，0，)，=()，=(0，2，0)，

∴=0

∴PD⊥OE，PD⊥AC，∴PD⊥平面EAC

(Ⅱ)由(Ⅰ)知PD⊥以，PD⊥EG，則∠AEC為二面角A-PD-C的平面角

∵=（），=（）

∴cos∠AEC=cos＜，＞=

(Ⅲ)由O為BD中點知，點B到平面PDC的距離為點O到平面PDC距離的2倍

又=(，0，)，

cos∠OEC=cos＜，＞=

所以點B到平面PDC的距離

d=2||sin∠OEC=2×