Question

如圖，菱形ABCD中，，平面ABCD，平面ABCD，

(1)求證：平面BDE；

(2)求銳二面角的大小．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）利用已有的垂直關系，以為原點，，為、軸正向，軸過且平行于，建立空間直角坐標系通過計算，，得到，，

達到證明目的.

（2）由知（1）是平面的一個法向量，

設是平面的一個法向量，利用 ,

確定得到，由<,>及二面角——為銳二面角，得解.

“向量法”往往能將復雜的證明問題，轉化成計算問題，達到化繁為簡，化難為易的目的.

試題解析：（1）證明：連接、，設，

∵為菱形，∴，以為原點，，為、軸正向，軸過且平行于，建立空間直角坐標系（圖1）， 2分

則，

，， 4分

∴ ，，∴，，

又，∴⊥平面. 6分

（2）由知（1）是平面的一個法向量，

設是平面的一個法向量，

,由 ,

得：， 8分

取，得，于是

<,> 10分

但二面角——為銳二面角，

故其大小為. 12分

考點：垂直關系，二面角的計算，空間向量的應用.