Question

如圖，菱形ABCD中，∠A=60°，把菱形ABCD沿對角線BD折成二面角A-BD-C，AC=BD，空間中的點P滿足PA、PB、PC兩兩垂直，則下列命題中錯誤的是（　　）

• A．二面角A-BD-C的余弦值為

  1

  3

• B．PC∥平面ABD
• C．PB與CD所成角為45°
• D．PB⊥BD

Answer 1

分析：根據已知可判斷出四棱錐A-BCD為正四面體，將四棱錐A-BCD補成一個正方體，建立空間坐標系，利用向量法，逐一判斷四個答案的真假，可得答案．

解答：解：∵菱形ABCD中，∠A=60°，把菱形ABCD沿對角線BD折成二面角A-BD-C，AC=BD，
可得四棱錐A-BCD為正四面體
將四棱錐A-BCD補成一個正方體，如下圖所示：
設正方體的棱長為1，易得向量

a

=（1，-1，1）為平面ABD的一個法向量；

b

=（-1，1，1）為平面BCD的一個法向量
設二面角A-BD-C的平面角為θ，則cosθ=

| a • b |

| a |•| b |

=

1

3

，故A正確；

PC

=（1，0，0），∵

PC

•

a

=1≠0，故PC的方向與平面ABD的法向量不垂直，故PC∥平面ABD不成立，故B不正確；

PB

=（0，0，-1），

CD

=（0，1，-1），∵cos＜

PB

，

CD

＞=

2

2

，故PB與CD所成角為45°，故C正確；
∵

BD

=（1，1，0），故

PB

•

BD

=0，故PB⊥BD，故D正確；
故選B

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，二面角的平面角及求法，空間線面關系的判定，構造空間坐標系，將線面夾角問題，二面角問題轉化為向量夾角問題是解答的關鍵．