Question

已知函數.其中.

（1）若曲線y＝f(x)與y=g(x)在x＝1處的切線相互平行,求兩平行直線間的距離;

（2）若f(x)≤g(x)－1對任意x>0恒成立,求實數的值;

（3）當<0時，對于函數h(x)=f(x)－g(x)+1,記在h(x)圖象上任取兩點A、B連線的斜率為,若,求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1） ；（2）2； （3）

【解析】

試題分析：（1）因為曲線y＝f(x)與y=g(x)在x＝1處的切線相互平行，所以分別對這兩個函數求導，可得導函數在x=1處的斜率相等，即可求出的值以及求出兩條切線方程.再根據平行間的距離公式求出兩切線的距離.

（2） 由f(x)≤g(x)－1對任意x>0恒成立，所以構造一個新的函數，在x>0時求出函數的最值符合條件即可得到的范圍.

（3）根據（2）所得的結論當當<0時,由（2）知<0,∴h(x)在(0,＋∞)上是減函數，所以根據可以得到函數與變量的關系式，從而構造一個新的函數，得到的范圍.

試題解析：（1）,依題意得: =2;

曲線y=f(x)在x=1處的切線為2x－y－2=0,

曲線y=g(x)在x=1處的切線方程為2x－y－1=0.兩直線間的距離為

（2）令h(x)=f(x)－g(x)+1, ,則

當≤0時, 注意到x>0, 所以<0, 所以h(x)在(0,+∞)單調遞減,又h(1)=0,故0<x<1時,h(x)>0,即f(x)> g(x)-1,與題設矛盾.

當>0時,

當,當時,

所以h(x)在上是增函數,在上是減函數,

∴h(x)≤

因為h(1)＝0,又當≠2時,≠1,與不符.所以＝2.

（3）當<0時,由（2）知<0,∴h(x)在(0,＋∞)上是減函數,

不妨設0<x1≤x2,則|h(x1)－h(x2)|＝h(x1)－h(x2),|x1－x2|＝x2－x1,

∴|h(x1)－h(x2)|≥|x1－x2|

等價于h(x1)－h(x2)≥x2－x1,即h(x1)＋x1≥h(x2)＋x2,令H(x)＝h(x)＋x＝lnx－x2＋x＋1,H(x)在(0,＋∞)上是減函數,

∵ (x>0),∴－2x2＋x＋≤0在x>0時恒成立,∴≤(2x2－x)min又x>0時, (2x2－x)min=

∴a≤－,又a<0,∴a的取值范圍是.

考點：1.導數的幾何意義.2.含參數的不等式恒成立問題.3.函數方程間的等價變化轉化為熟悉的問題從而解決問題.