Question

（本小題共14分）已知函數其中常數.

（1）當時，求函數的單調遞增區間；

（2）當時，若函數有三個不同的零點，求m的取值范圍；

（3）設定義在D上的函數在點處的切線方程為當時，若在D內恒成立，則稱P為函數的“類對稱點”，請你探究當時，函數是否存在“類對稱點”，若存在，請最少求出一個“類對稱點”的橫坐標；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）的單調遞增區間為.（2）.

（3）是一個類對稱點的橫坐標.

【解析】

試題分析：（1）由f^′(x)=2x-(a+2)+ = =

，能求出當a＞2時，求函數f（x）的單調遞增區間．

（2）a=4，f′（x）=2x+ -6，故f^′(x)=2x+ -6≥4 -6，不存在6x+y+m=0這類直線的切線．

（3）y=g(x)=(2x₀+ -6)(x-x₀)+ -6x₀+4lnx₀，令h（x）=f（x）-g（x），由此入手，能夠求出一個“類對稱點”的橫坐標．

解：（1）由可知，函數的定義域為，

且.

因為，所以.

當或時，；當時，，

所以的單調遞增區間為.

（2）當時，.

所以，當變化時，，的變化情況如下：

	（0,1）	1	（1,2）	2	（2，
	+	0	—	0	+
	單調遞增	取極大值	單調遞減	取極小值	單調遞增

所以，

.

函數的圖象大致如下：

 

所以若函數有三個不同的零點，.

（3）由題意,當時，，則在點P處切線的斜率；所以

.

令，

則，.

當時，在上單調遞減，所以當時，從而有時，；

當時，在上單調遞減，所以當時，從而有時，；所以在上不存在“類對稱點”.

當時，，所以在上是增函數，故

所以是一個類對稱點的橫坐標.

考點：本題主要是考查函數的單調區間的求法，考查類對稱點的求法．

點評：解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化，注意導數性質的靈活運用.