Question

【題目】曲線的參數方程為（為參數），以原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線的極坐標方程為.

(1)求曲線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程；

(2)若直線與曲線，的交點分別為、（、異于原點），當斜率時，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）的極坐標方程為；曲線的直角坐標方程.（2）

【解析】

(1)消去參數，可得曲線的直角坐標方程，再利用極坐標與直角坐標的互化，即可求解.

(2)解法1：設直線的傾斜角為，把直線的參數方程代入曲線的普通坐標方程，求得，再把直線的參數方程代入曲線的普通坐標方程，得，得出，利用基本不等式，即可求解；

解法2：設直線的極坐標方程為，分別代入曲線，的極坐標方程，得， ，得出，即可基本不等式，即可求解.

(1) 由題曲線的參數方程為（為參數），消去參數，

可得曲線的直角坐標方程為，即，

則曲線的極坐標方程為，即，

又因為曲線的極坐標方程為，即，

根據，代入即可求解曲線的直角坐標方程.

(2)解法1：設直線的傾斜角為，

則直線的參數方程為（為參數，），

把直線的參數方程代入曲線的普通坐標方程得：，

解得，，，

把直線的參數方程代入曲線的普通坐標方程得：，

解得，，，

，

，即，，，

，

當且僅當，即時取等號，

故的最小值為.

解法2：設直線的極坐標方程為），

代入曲線的極坐標方程，得，，

把直線的參數方程代入曲線的極坐標方程得：，

，即，，

曲線的參，即，

，，，

當且僅當，即時取等號，

故的最小值為.