Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，
（Ⅰ）以向量方向為側視方向，側視圖是什么形狀？說明理由并畫出側視圖．
（Ⅱ）求該幾何體的體積．

Answer 1

解：（1）∵MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，MD=NB=1，
∴四邊形BDMN是矩形，
∵以向量方向為側視方向，線段BD的視圖是線段AD（或BC）
而AD=MD=NB=1，
∴以向量方向為側視方向時，側視圖是邊長為1的正方形，
AM是正方形一條對角線，CN是另一條對角線（虛線）
因此，可得側視圖的形狀如右圖；…（5分）
（2）連接AC、BD，交于O點，
∵ABCD是正方形，∴AO⊥BD，
又∵NB⊥平面ABCD，AO?平面ABCD，
∴AO⊥NB，結合BD、NB是平面BDMN內的相交直線，可得AO⊥平面BDMN，…（9分）
∵矩形BDMN的面積，
∴四棱錐A-BDMN的體積
同理可得：四棱錐C-BDMN的體積為，
故該幾何體的體積V=V_C-BDMN+V_A-BDMN=．…（12分）
分析：（1）根據題意，可得四邊形BDMN是矩形且平面BDMN⊥平面ABCD，因此以向量方向為側視方向時，側視圖是邊長為1的正方形，結合條件可作出側視圖的形狀；
（2）由線面垂直的判定與性質，可得AO⊥平面BDMN，得AO是四棱錐A-BDMN的高，從而算出四棱錐A-BDMN的體積，同理得出四棱錐C-BDMN的體積，兩個錐體相加即得該幾何體的體積．
點評：本題給出特殊多面體，求作它的側視圖并求體積，著重考查了三視圖的認識、空間的垂直位置關系證明和體積公式等知識，屬于基礎題．