Question

古代印度婆羅門教寺廟內的僧侶們曾經玩過一種被稱為“河內寶塔問題”的游戲，其玩法如下：如圖，設有n（n∈N^*）個圓盤依其半徑大小，大的在下，小的在上套在A柱上，現要將套在A柱上的盤換到C柱上，要求每次只能搬動一個，而且任何時候不允許將大盤套在小盤上面，假定有三根柱子A，B，C可供使用．

現用a_n表示將n個圓盤全部從A柱上移到C柱上所至少需要移動的次數，回答下列問題：
（1）寫出a₁，a₂，a₃，并求出a_n；
（2）記b_n=a_n+1，求和Sn=

1≤i≤j≤n

bibj(i，j∈N*)；（其中

1≤i≤j≤n

bibj表示所有的積b_ib_j（1≤i≤j≤n）的和）
（3）證明：

S1

S2

+

S2

S3

+…+

Sn

Sn+1

＜

n

4

-

3

16

+

3

16

•

1

2n

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）由題意要將n個圓盤全部轉移到C柱上，只需先將上面n-1個圓盤轉移到B柱上，需要a_n-1次轉移，然后將最大的那個圓盤轉移到C柱上，需要一次轉移，再將B柱上的n-1個圓盤轉移到C柱上，需要a_n-1次轉移，所以有a_n=2a_n-1+1，利用構造法可求a_n；
（2）由第（1）問解答知b_n=a_n+1=2ⁿ則Sn=

1≤i≤j≤n

bibj=

1

2

[(b1+b2+…+bn)2+(

b

2 1

+

b

2 2

+…+

b

2 n

)]將b_n代入利用等比數列求和公式求和即得；
（3）由（2）求得和cn=

2n-1

2n+2-1

，利用利用放縮法結合等比數列求和可證．

解答：解：（1）a₁=1，a₂=3，a₃=7，
事實上，要將n個圓盤全部轉移到C柱上，只需先將上面n-1個圓盤轉移到B柱上，
需要a_n-1次轉移，然后將最大的那個圓盤轉移到C柱上，
需要一次轉移，再將B柱上的n-1個圓盤轉移到C柱上，
需要a_n-1次轉移，所以有a_n=2a_n-1+1
則a_n+1=2（a_n-1+1）⇒a_n+1=2ⁿ，
所以a_n=2ⁿ-1
（2）由第（1）問解答知b_n=a_n+1=2ⁿ
則Sn=

1≤i≤j≤n

bibj=

1

2

[(b1+b2+…+bn)2+(

b

2 1

+

b

2 2

+…+

b

2 n

)]
=

1

2

[(2+22+…+2n)2+(22+24+26+…+22n)]
=

1

2

[(2n+1-2)2+

4

3

(4n-1)]=

4

3

(2n-1)(2n+1-1)(n∈N*)
（3）令cn=

Sn

Sn+1

(n∈N*)，則由（2）得：
cn=

2n-1

2n+2-1

=

1

4

•

2n- 1 4 - 3 4

2n- 1 4

=

1

4

(1-

3 4

2n- 1 4

)=

1

4

-

3

16

•

1

2n- 1 4

＜

1

4

-

3

16

•

1

2n

所以c1+c2+c3+…+cn＜

n

4

-

3

16

•(

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)=

n

4

-

3

16

+

3

16

•

1

2n

．

點評：本題的（1）問關鍵是從特殊中發現一般性的規律，考查構造法求數列的通項；（3）問體現等價轉化的數學思想，同時應注意放縮法的運用．