Question

古代印度婆羅門教寺廟內的僧侶們曾經玩過一種被稱為“河內寶塔問題”的游戲，其玩法如下：如圖，設有n（n∈N*）個圓盤依其半徑大小，大的在下，小的在上套在A柱上，現要將套在A柱上的盤換到C柱上，要求每次只能搬動一個，而且任何時候不允許將大盤套在小盤上面，假定有三根柱子A、B、C可供使用．現用a_n表示將n個圓盤全部從A柱上移到C柱上所至少需要移動的次數，回答下列問題：
（1）寫出a₁，a₂，a₃，并求出a_n；
（2）記b_n=a_n+1，求和Sn=

1≤i≤j≤n

bibj（i，j∈N*）；（其中

1≤i≤j≤n

bibj表示所有的積b_ib_j（1≤i≤j≤n）的和）
證明：

1

7

≤

S1

S2

+

S1•S3

S2•S4

+…+

S1•S3…S2n-1

S2•S4…S2n

＜

4

21

（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）由題意要將n個圓盤全部轉移到C柱上，只需先將上面n-1個圓盤轉移到B柱上，需要a_n-1次轉移，然后將最大的那個圓盤轉移到C柱上，需要一次轉移，再將B柱上的n-1個圓盤轉移到C柱上，需要a_n-1次轉移，所以有a_n=2a_n-1+1，利用構造法可求a_n；
（2）先求得和Sn=

1≤i≤j≤n

bibj=

4

3

(2n-1)(2n+1-1)，再令cn=

S1•S3•…•S2n-1

S2•S4•…•S2n

，則當n≥2時

cn ＜ 1 4 • 1 22n-1-1 = 1 4 cn-1＜( 1 4 )n-1c1

，從而利用放縮法可證．

解答：解：（1）a₁=1，a₂=3，a₃=7
事實上，要將n個圓盤全部轉移到C柱上，只需先將上面n-1個圓盤轉移到B柱上，需要a_n-1次轉移，然后將最大的那個圓盤轉移到C柱上，需要一次轉移，再將B柱上的n-1個圓盤轉移到C柱上，需要a_n-1次轉移，所以有a_n=2a_n-1+1則a_n+1=2（a_n-1+1）⇒a_n+1=2ⁿ，所以a_n=2ⁿ-1
（2）b_n=a_n+1=2ⁿ則Sn=

1≤i≤j≤n

bibj=

1

2

[(b1+b2+…+bn)2+(

b

2 1

+

b

2 2

+…+

b

2 n

)]

= 1 2 [(2+22+…+2n)2+(22+24+26+…+22n)] = 1 2 [(2n+1-2)2+ 4 3 (4n-1)]= 4 3 (2n-1)(2n+1-1)

令cn=

S1•S3•…•S2n-1

S2•S4•…•S2n

，則當n≥2時cn=

S1•S3…S2n-1

S2•S4…S2n

=

(21-1)(22-1)

(22-1)(23-1)

•

(23-1)(24-1)

(24-1)(25-1)

•…•

(22n-1-1)(22n-1)

(22n-1)(22n+1-1)

= 21-1 22n+1-1 = 1 22n+1-1 = 1 4 • 1 22n-1- 1 4 ＜ 1 4 • 1 22n-1-1 = 1 4 cn-1＜( 1 4 )n-1c1

又c1=

1

23-1

=

1

7

＜

4

21

，所以對一切n∈N*有：

S1 S2 + S1•S3 S2•S4 +…+ S1•S3•…•S2n-1 S2•S4•…•S2n =c1+c2+c3+…+cn

＜c1+ 1 4 c1+( 1 4 )2c1+…+( 1 4 )n-1c1 =c1( 1-( 1 4 )n 1- 1 4 )= 4 21 - 4 21 •( 1 4 )n＜ 4 21

另方面c_n＞0恒成立，所以對一切n∈N*有

S1 S2 + S1•S3 S2•S4 +…+ S1•S3•…•S2n-1 S2•S4•…•S2n =c1+c2+c3+…+cn≥c1= 1 7

綜上所述有：

1

7

≤

S1

S2

+

S1•S3

S2•S4

+…+

S1•S3•…•S2n-1

S2•S4•…•S2n

＜

4

21

(n∈N*)

點評：本題的（1）問關鍵是從特殊中發現一般性的規律，考查構造法求數列的通項；（2）問體現等價轉化的數學思想，同時應注意放縮法的運用．