Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c，
（1）當c=3時，不等式f（x）＜0的解集為（1，3），求f（x）的解析式；
（2）若不等式f（x）＜0的解集為（1，3），且f（x）＞a³-4a在區間[a，a+1]上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用一元二次不等式的解集是（1，3），得到1，3是對應方程f（x）=0的兩個根，根據根與系數之間的關系求a，b即可．
（2）利用不等式f（x）＜0的解集為（1，3），得到1，3是對應方程f（x）=0的兩個根，根據根與系數之間的關系求a，b，c的關系，利用f（x）＞a³-4a在區間[a，a+1]上恒成立a的取值范圍．

解答：解：（1）當c=3時，f（x）=ax²+bx+3，因為元二次不等式的解集是（1，3），則1，3是對應方程f（x）=0的兩個根，且a＞0，
所以據根與系數之間的關系得

1+3=- b a 1×3= 3 a

，解得a=1，b=-4，所以f（x）=x²-4x+3．
（2）若不等式f（x）＜0的解集為（1，3），則1，3是對應方程f（x）=0的兩個根，且a＞0，
所以據根與系數之間的關系得

1+3=- b a 1×3= c a

，即c=3a，b=-4a．
由f（x）＞a³-4a得ax²+bx+c＞a³-4a，即ax²-4ax+3a＞a³-4a，因為a＞0，
所以不等式等價為x²-4x+3＞a²-4，即x²-4x+7-a²＞0在區間[a，a+1]上恒成立，
設f（x）=x²-4x+7-a²=（x-2）²+3-a²，對稱軸為x=2．
①若a+1≤2，即0＜a≤1時，函數在[a，a+1]上單調遞減，此時當x=a+1時函數值最小，所以f（a+1）=4-2a，由4-2a＞0，得a＜2，此時0＜a≤1．
②若a≤2≤a+1，即1≤a≤2時，當x=2時，函數值最小，所以f（2）=3-a²，由3-a²＞0，得-

3

＜a＜

3

，此時1≤a≤

3

．
③若a+1＞2時，即a＞1時，函數在[a，a+1]上單調遞增，此時當x=a時函數值最小，所以f（a）=a²-4a+7-a²=7-4a，由7-4a＞0，得a＜

7

4

，此時1＜a＜

7

4

．
綜上實數a的取值范圍是0＜a＜

7

4

．

點評：本題主要考查一元二次不等式的解法和一元二次函數的圖象和性質，綜合性較強，注意進行分類討論．