Question

【題目】如圖，三棱柱中ABC﹣A1B1C1中，點A1在平面ABC內的射影D為棱AC的中點，側面A1ACC1為邊長為2的菱形，AC⊥CB，BC=1．

（1）證明：AC1⊥平面A1BC；
（2）求二面角B﹣A1C﹣B1的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得A1D⊥平面ABC，

∴平面A1ACC1⊥平面ABC，

∵平面A1ACC1∩平面ABC=AC，CA⊥CB

∴BC⊥平面A1ACC1

∴BC⊥AC1

連接A1C

∵側面A1ACC1為菱形

∴A1C⊥AC1，

∴AC1⊥平面A1BC，

（2）解：直角三角形A1AD中，

∵AA1=2，AD=1，∴A1D= ，

過C作CM∥A1D交A1C1于M點，

分別以C為坐標原點，以CA，CB，CM的方向為x軸，y軸，z軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系C﹣xyz，

則C（0，0，0），B（0，1，0），D（1，0，0），A（2，0，0），A1（1，0， ），

由 = ，得C1（﹣1，0， ），∴ =（﹣3，0， ），

由 = 得B1（﹣1，1， ），∴ =（﹣1，1， ）， =（1，0， ），設平面A1B1C的一個法向量為 =（x，y，z），

由 得 ，

令z=1，解得 =（﹣ ，﹣2 ，1）

由題得 = =（﹣3，0， ）為平面A1BC的一個法向量， cos＜ ， ＞= = = = ，

則＜ ， ＞= ．

因此二面角B﹣A1C﹣B1的大小為 ．

【解析】（1）根據線面垂直的判定定理即可得到結論．（2）建立坐標系，求出平面的法向量，利用向量法進行求解即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面垂直的判定(一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想)．