Question

【題目】已知函數（，且為自然對數的底數）

（1）判斷函數的單調性并證明；

（2）判斷函數的奇偶性并證明；

（3）是否存在實數，使不等式對一切都成立？若存在，求出的范圍，若不存在說明理由.

Answer 1

【答案】（1）增函數,證明見解析（2）奇函數,證明見解析（3）存在,

【解析】

（1）利用單調性的定義證明單調性；

（2）利用奇偶性的定義證明奇偶性；

（3）根據（1）（2）的結論脫去“f”，分離參數，轉化為二次函數問題，求實數t的取值范圍．

（1）任取x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2，

則f（x2）﹣f（x1），

又y＝ex在R上為增函數且ex＞0，

∴，∴，

∴f（x2）＞f（x1），

∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函數．

（2）∵函數f（x）＝ex﹣e﹣x，x∈R，定義域關于原點對稱，

又f（﹣x）＝e﹣x﹣ex＝﹣（ex﹣e﹣x）＝﹣f（x），

∴f（x）為奇函數．

（3）由（1）（2）知f（x）在R上為奇函數且單調遞增，由

可得：，

∴，

即：對一切都成立，

又

解得：．

綜上存在實數，t的取值范圍是．