Question

【題目】定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)，對于任意的m，n∈(0，＋∞)，都有f(mn)＝f(m)＋f(n)成立，當x>1時，f(x)<0.

(1)求證：1是函數(shù)f(x)的零點；

(2)求證：f(x)是(0，＋∞)上的減函數(shù)；

(3)當f(2)＝時，解不等式f(ax＋4)>1．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）時解集為，時，解集為，時解集為.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)令m＝n＝1，則f（1）＝2f（1），∴f（1）＝0，即可得1是函數(shù) f （x）的零點；（2）設．

即因，則．而當x>1時，，從而．所以f（x）在（0，＋∞）上是減函數(shù)（3）因為，所以不等式轉(zhuǎn)化為f（ax＋4）>f（4），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可得，然后分三種情況討論，解得不等式

試題解析：（1）對于任意的正實數(shù)m，n都有f（mn）＝f（m）＋f（n）成立，所以令m＝n＝1，則f（1）＝2f（1）．

∴f（1）＝0，即1是函數(shù)f（x）的零點．

（2）設．

即因，則．而當x>1時，，從而．所以f（x）在（0，＋∞）上是減函數(shù)．

（3）因為，所以不等式f（ax＋4）>1可以轉(zhuǎn)化為

因為f（x）在（0，＋∞）上是減函數(shù)，所以．

當a＝0時，解集為；

當a>0時，－4<ax<0，即－<x<0，解集為；

當a<0時，－4<ax<0，即0<x<－，解集為}．