Question

一個三角形數表按如下方式構成（如圖：其中項數）：第一行是以4為首項，4為公差的等差數列，從第二行起，每一個數是其肩上兩個數的和，例如：；為數表中第行的第個數．
（1）求第2行和第3行的通項公式和；
（2）證明：數表中除最后2行外每一行的數都依次成等差數列；
（3）求關于（）的表達式．

Answer 1

(1),；（2）證明見解析，；（3）．

試題分析：（1）根據定義，，因此
，；（2）由于第行的數依賴于第的數，因此我們可用數學歸納法證明；（3）設第行的公差為，
，而
，從而，即，于是有，由此可求得數列是公差為1的等差數列，而，由等差數列通項公式得，從而有．
試題解析：（1）
． （4分）
（2）由已知，第一行是等差數列，
假設第行是以為公差的等差數列，則由

（常數）
知第行的數也依次成等差數列，且其公差為.
綜上可得，數表中除最后2行以外每一行都成等差數列．        （9分）
（3）由于，所以，      （11分）
所以，
由得，               （13分）
于是，即，         （15分）
又因為，所以，數列是以2為首項，1為公差的等差數列， 所以，，所以（）．   （18分）