Question

【題目】如圖，已知過點的橢圓的離心率為，左頂點和上頂點分別為A，B．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若P為線段OD延長線上一點，直線PA交橢圓于另一點E，直線PB交橢圓于另一點Q．

①求直線PA與PB的斜率之積；

②判斷直線AB與EQ是否平行？并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)1．(2) ① ．②平行．理由見解析

【解析】

（1）離心率值轉化為關系，再把點坐標代入方程，即可求出橢圓標準方程；

（2）①求出方程，設出點坐標，可求出直線PA與PB的斜率之積；

②求出直線方程，分別與橢圓方程聯立，求出兩點坐標，代入斜率公式，求出直線的斜率，然后再判斷與直線是否平行.

（1）∵橢圓過點D（，）,且離心率為

∴，

∴橢圓的方程為1．

（2）①由（1）知A（﹣2，0），B（0，1），

直線OD方程為y，

點P在直線OD上，設P（﹣2y0，y0），

kPAkPB．

②設E（x1，y1），Q（x2，y2），

聯立直線AP：y與橢圓的方程得，

（2y02﹣2y0+1）x2+4y02x+8y0﹣4＝0，

∴﹣2+x1，

∴x1，y1，

聯立直線BP：y與橢圓的方程得，

，

∴x2，y2，

∴

又因為kAB，∴kAB＝kEQ，

∴直線AB與EQ是平行．