Question

已知四棱錐的底面是正方形，底面，是上的任意一點.

（1）求證：平面平面；
（2）當時，求二面角的大小.

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）.

試題分析：(1)證明平面內的直線垂直平面內的兩條相交直線，即可證明平面平面；(2)為方便計算，不妨設，先以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，寫給相應點的坐標，然后分別求出平面和平面的一個法向量，接著計算出這兩個法向量夾角的余弦值，根據二面角的圖形與計算出的余弦值，確定二面角的大小即可.
試題解析：(1)底面，所以               2分
底面是正方形，所以                   4分
所以平面又平面
所以平面平面                        5分
（2）證明：點為坐標原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，設
由題意得，,            6分
，又
設平面的法向量為，則
，令，則，          8分
，
設平面的法向量為，則
，令，則           10分
設二面角的平面角為，則.
顯然二面角的平面角為為鈍角，所以
即二面角的大小為                 12分.