Question

長度為(>0)的線段AB的兩個端點A、B分別在軸和y軸上滑動，點P在線段AB上，且滿足(A為常數，且)．

(1)求點P的軌跡方程C；

(2)當時，過點M(1，0)作兩條互相垂直的直線和，和分別與曲線C相交于點N和Q(N、Q都異于點M)，試問△MNQ能不能是等腰三角形?若能，請說明這樣的三角形有幾個；若不能，請說明理由．

Answer 1

解：(1)依題意，設點A、B的坐標分別為(，0)、(0，)，點P的坐標為()．

    由，得)

                               =()．

    ∴  即

∵|AB|=，∴．

∴，

∴點P的軌跡方程C是．

(2)當時，曲線C的方程是，故點M(1，0)在曲線C上．

依題意，可知直線和都不可能與坐標軸平行，可設直線方程為，

直線方程為，不妨設．

由消去y得

    ．

由，又，得，

    ∴

           =

           =．

    同理可得

                 =．

    假設△MNQ是等腰三角形，則|MN|=|MQ|，

    即，

化簡得，

∴或    ①

①式的判別式△=，

若△=，解得，此時①式無解；

若△==0，解得，由①式得=1；

若△=>0，解得，由①式得

    (可以驗證≠1且>0)．

綜上所述，△MNQ可以是等腰三角形，當0<≤時，這樣的三角形有一個；

當時，這樣的三角形有三個．