Question

若F₁、F₂為雙曲線=1(a＞0，b＞0)的左右焦點，O為坐標原點，P在雙曲線左支上，M在右準線上，且滿足.

(Ⅰ)求此雙曲線的離心率；

(Ⅱ)若此雙曲線過點N(2，)，求雙曲線方程；

(Ⅲ)設(Ⅱ)中雙曲線的虛軸端點分別為B₁，B₂(B₁在y軸正半軸上)，點A、B在雙曲線上，且，當時，求直線AB的方程．

Answer 1

解：(Ⅰ)∵   ∴四邊形PF₁OM為平行四邊形

又由,cos∠F₁OP=cos∠MOP

∴OP平分∠F₁OM ∴四邊形PF₁OM射為菱形 

又||=c，∴|PF₁|=||=c，

∴|PF₂|=||+2a=2a+c

又=e,即=e  ∴e²-e-2=0

∴e=2或e=-1(舍) 

(Ⅱ)由(1)知e=2，設雙曲線方程為=1，

將點(2，)代入=1

∴a²=3，即雙曲線方程為=1

(Ⅲ)依題知：B₁(0，3)，B₂(0，-3)

∵=λ  ∴A、B₂、B共線

設直線AB的方程為y=kx-3，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)

聯立(3-k²)x²+6kx-18=0

由題知：3-k²≠0，x₁+x₂=，x₁x₂=

又=(x₁，y₁-3)，=(x₂，y₂-3)，⊥x₁x₂+y₁y₂-3(y₁+y₂)+9=0(1+k²)x₁x₂- 6k(x₁+x₂)+36=0

解得：k²=5，∴k=±滿足3-k²≠0及△＞0

故所求直線AB的方程為y=x-3或y=x-3