Question

【題目】在平面直角坐標中，直線的參數方程為，(為參數).以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）若，試判斷直線與曲線的位置關系；

（2）當時，直線與曲線的交點為，若點的極坐標為，求的面積.

Answer 1

【答案】（1）直線與曲線相切（2）

【解析】

（1）先將曲線的極坐標方程及直線的參數方程化為普通方程，再由直線與圓的位置關系求解即可；

（2）先由直線的參數方程求出，再將點的極坐標化為直角坐標，然后結合點到直線的距離公式及三角形面積公式求解即可.

解：（1）.由得，所以，即.

故曲線是以為圓心，半徑為2的圓.

由，

又且，

可得，，

從而.

所以直線的普通方程為.

圓心到直線的距離為，

所以直線與曲線相切.

（2）當時，將直線的參數方程，(為參數)代入曲線的方程得，整理得，

因此.

于是.

又點的極坐標為，所以其直角坐標為.

直線的直角坐標方程為，

因此點到直線的距離，

故的面積.