Question

【題目】已知函數(shù)

（1）已知直線：，：.若直線與關(guān)于對稱，又函數(shù)在處的切線與垂直，求實數(shù)的值；

（2）若函數(shù)，則當，時，求證：

①；

②.

Answer 1

【答案】（1）（2）①證明見解析②證明見解析

【解析】

（1）首先根據(jù)直線關(guān)于直線對稱的直線的求法，求得的方程及其斜率.根據(jù)函數(shù)在處的切線與垂直列方程，解方程求得的值.

（2）

①構(gòu)造函數(shù)，利用的導(dǎo)函數(shù)證得當時，，由此證得.

②由①知成立，整理得成立.利用構(gòu)造函數(shù)法證得，由此得到，即，化簡后得到.

（1）由解得

必過與的交點.

在上取點，易得點關(guān)于對稱的點為，

即為直線，所以的方程為，即，其斜率為.

又因為，所以，，

由題意，解得.

（2）因為，所以.

①令，則，

則，

且，，

時，，單調(diào)遞減；

時，，單調(diào)遞增.

因為，所以，因為，

所以存在，使時，，單調(diào)遞增；

時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增.

又，所以時，，即，

所以，即成立.

②由①知成立，即有成立.

令，即.所以時，，

單調(diào)遞增；

時，，單調(diào)遞減，所以，即，

因為，所以，所以時，，

即時，.