Question

（2013•懷化三模）若正數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，則

1

3a+2

+

1

3b+2

+

1

3c+2

的最小值為

1

．

Answer 1

分析：根據(jù)a+b+c=1，得到（3a+2）+（3b+2）+（3C+2）=9，結(jié)合柯西不等式證出9（

1

3a+2

+

1

3b+2

+

1

3c+2

）≥9，從而

1

3a+2

+

1

3b+2

+

1

3c+2

≥1，當且僅當a=b=c=

1

3

時等號成立，由此可得

1

3a+2

+

1

3b+2

+

1

3c+2

的最小值．

解答：解：∵a+b+c=1，
∴（3a+2）+（3b+2）+（3C+2）=3（a+b+c）+6=9
∵[（3a+2）+（3b+2）+（3C+2）]（

1

3a+2

+

1

3b+2

+

1

3c+2

）
≥（

3a+2

•

1

3a+2

+

3b+2

•

1

3b+2

+

3c+2

•

1

3c+2

）²=（1+1+1）²=9
∴9（

1

3a+2

+

1

3b+2

+

1

3c+2

）≥9，得

1

3a+2

+

1

3b+2

+

1

3c+2

≥1
當且僅當3a+2=3b+2=3C+2，即a=b=c=

1

3

時，

1

3a+2

+

1

3b+2

+

1

3c+2

的最小值為1
故答案為：1

點評：本題給出三個正數(shù)a、b、c的和等于1，求關(guān)于a、b、c一個分式的最小值，著重考查了利用柯西不等式求最值的方法，屬于中檔題．根據(jù)柯西不等式的形式結(jié)合已知條件進行配湊，是解決本題的關(guān)鍵所在．