Question

已知

a

=（sinθ，cosθ）、

b

=（

3

，1）
（1）若

a

∥

b

，求tanθ的值；
（2）若f（θ）=|

a

+

b

|，△ABC的三個內角A，B，C對應的三條邊分別為a、b、c，且a=f（0），b=f（-

π

6

），c=f（

π

3

），求

AB

•

AC

．

Answer 1

分析：（1）路向量共線的條件，建立方程，可求tanθ的值；
（2）計算出向量和的模，從而可求a，b，c的值，利用余弦定理求出cosA，再利用數量積公式，可得結論．

解答：解：（1）

a

∥

b

，

a

=（sinθ，cosθ）、

b

=（

3

，1）
∴sinθ-

3

cosθ=0…（3分）
∴tanθ=

3

…（6分）
（2）∵

a

+

b

=（sinθ+

3

，cosθ+1）…（7分）
∴f（θ）=|

a

+

b

|=

(sinθ+ 3 )2+(cosθ+1)2

=

5+4sin(θ+ π 6 )2

…（8分）
∵a=f（0），b=f（-

π

6

），c=f（

π

3

），
∴a=f（0）=

7

，b=f（-

π

6

）=

5

，c=f（

π

3

）=3，…（10分）
由余弦定理可知：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

7 5

30

…（11分）
∴

AB

•

AC

=|

AB

||

AC

|cosA=bccosA=

7

2

．…（12分）（其它方法酌情給分）

點評：本題考查向量知識的運用，考查三角函數的化簡，考查余弦定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．