Question

下列命題中，正確的是

①②③

①平面向量

a

與

b

的夾角為60°，

a

=（2，0），|

b

|=1，則|

a

+

b

|=

7

；
②已知

a

=（sinθ，

1+cosθ

），

b

=（1，

1-cosθ

）其中θ∈（π，

3π

2

）則

a

⊥

b

；
③O是△ABC所在平面上一定點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足：

OP

=

OA

+λ（

AB

sinC

+

AC

sinB

），λ∈（0，+∞），則直線AP一定通過△ABC的內(nèi)心．

Answer 1

分析：①由

a

=(2，0)，求出|

a

|，在三個向量

a

，

b

，

a

+

b

構(gòu)成的三角形中，運(yùn)用余弦定理求|

a

+

b

|；
②寫出兩個向量的數(shù)量積，運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式整理即可得到結(jié)論；
③把給出等式中的角的正弦值用對應(yīng)邊長和外接圓半徑表示，移向整理后得即

AP

=2Rλ(

AB

| AB |

+

AC

| AC |

)．
由此式可知直線AP一定通過△ABC的內(nèi)心．

解答：解：①如圖，

因?yàn)?span id="yqtw7ba" class="MathJye">

a

=（2，0），所以|

a

|=

22+02

=2，

a

+

b

對應(yīng)的向量是以

a

和

b

為鄰邊的平行四邊形的對角線，
由余弦定理得：|

a

+

b

|=

| a |2+| b |2-2| a || b |cos120°

=

22+12-2×2×1×(- 1 2 )

=

7

，
所以①正確；
②由

a

=（sinθ，

1+cosθ

），

b

=（1，

1-cosθ

），
則

a

•

b

=sinθ+

(1+cosθ)(1-cosθ)

=sinθ+

1-cos2θ

=sinθ+

sin2θ

=sinθ+|sinθ|，
因?yàn)棣取剩é校?span id="nm7qiyu" class="MathJye">

3π

2

），所以sinθ＜0，
所以

a

•

b

=sinθ-sinθ=0，所以

a

⊥

b

，
所以②正確；
③如圖，


在△ABC中，由

| AB |

sinC

=

| AC |

sinB

=2R（R為三角形ABC外接圓半徑），所以sinC=

| AB |

2R

，sinB=

| AC |

2R

，
所以

OP

=

OA

+λ（

AB

sinC

+

AC

sinB

）=

OA

+λ(

2R AB

| AB |

+

2R AC

| AC |

)=

OA

+2Rλ(

AB

| AB |

+

AC

| AC |

)，
即

AP

=2Rλ(

AB

| AB |

+

AC

| AC |

)．
所以直線AP一定通過△ABC的內(nèi)心．
所以③正確．
故答案為①②③

點(diǎn)評：本題考查了命題的真假的判斷與運(yùn)用，解答此題的關(guān)鍵是判斷③，需要掌握的是

a

| a |

表示

a

方向上的單位向量，此題是中檔題．