Question

【題目】某工程隊共有500人，要建造一段6000米的高速公路，工程需要把500人分成兩組，甲組的任務是完成一段4000米的軟土地帶，乙組的任務是完成剩下的2000米的硬土地帶，據測算，軟、硬土地每米的工程量是30工（工為計量單位）和40工.

（1）若平均分配兩組的人數，分別計算兩組完工的時間，并求出此時全隊的筑路工期；

（2）如何分配兩組的人數會使得全隊的筑路工期最短？

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）硬土，軟土的人數分別分配為275，225時，全隊工期最短，為437．

【解析】

（1）平均分配兩組的人數各為250人，兩組完工的時間分別為：，．可得此時全隊的筑路工期．

（2）假設分配兩組的人數分別為x，500﹣x．可得兩組完工的時間分別為：，．可得兩組完工的時間和40000.0＜x＜500．令f（x），0＜x＜500．利用導數研究其單調性極值與最值即可得出．

（1）平均分配兩組的人數各為250人，兩組完工的時間分別為：480，320．

∴此時全隊的筑路工期為480．

∴硬土480，軟土320，全隊工期480；

（2）假設分配兩組的人數分別為x，500﹣x．

則：兩組完工的時間分別為：，．

∴兩組完工的時間和40000.0＜x＜500．

令f（x），0＜x＜500．

∴f′（x）0，

解得x＝1500﹣500275．

∴全隊的筑路工期為437．

另解：y，0＜x＜500．

則y（x+500﹣x）（）（5）（5+2），

當且僅當x＝1500﹣500275時取等號．

∴硬土，軟土的人數分別分配為275，225時，全隊工期最短，為437．