Question

【題目】連接球面上兩點的線段稱為球的弦，半徑為4的球的兩條弦AB、CD的長度分別為2 和4 ，M、N分別是AB、CD的中點，兩條弦的兩端都在球面上運動，有下面四個命題：
①弦AB、CD可能相交于點M；
②弦AB、CD可能相交于點N；
③MN的最大值是5；
④MN的最小值是1；
其中所有正確命題的序號為 ．

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：②錯誤．易求得M、N到球心O的距離分別為3、2，
若兩弦交于N，則OM⊥MN，Rt△OMN中，有OM＜ON，矛盾．
分別取球O的兩條弦AB、CD的中點E、F，則OE= ，OF= ，
即可以看做弦AB、CD分別是球半徑為3和2的球的切線，且弦AB在半徑為2的球的外部，
弦AB與CD只可能相交與M點，且MN的最大距離為2+3=5，最小距離為3﹣2=1，當M、O、N共線時分別取最大值5最小值1．
綜上可得正確的命題的序號為①③④．
所以答案是：①③④．
【考點精析】掌握空間中直線與直線之間的位置關系是解答本題的根本，需要知道相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點．