Question

【題目】已知函數，其中.

（1）求函數的單調區間；

（2）對任意，都有，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數的定義域為（2）的取值范圍是

【解析】試題分析：（1）求函數的導數，利用函數單調性和導數之間的關系，即可求解函數的單調區間；

（2）對于任意，都有，轉化為，多次構造函數，求函數的導數，利用導數研究函數的最值可求函數求實數的取值范圍.

試題解析：（1）函數的定義域為，

函數的導數，

因為，

所以當時， ，此時，函數在上單調遞減，

當時， ，此時，函數在上單調遞增，

所以函數在上單調遞增，在上單調遞減.

（2）當時，由（1）知在上單調遞減， 在上單調遞減，

所以對任意的，都有，

因為對任意的，都有，

所以，即，得，

所以當時，對于任意的，都有，

當時， ，由（1）得在上單調遞增，

所以對于任意，有，

因為對于任意，都有，

所以，即，

設，則，

設，

則，所以在上單調遞減，

則當時， ，

此時不等式不成立，

綜上，所求的取值范圍是.