Question

【題目】設，函數，其導數為

（1）當時，求的單調區間；

（2）函數是否存在零點？說明理由；

（3）設在處取得最小值，求的最大值

Answer 1

【答案】（1）在的單調遞減，在單調遞增；（2）故時，存在唯一零點；（3）．

【解析】

試題（1）求單調區間，只要求得導數，解不等式確定增區間，確定減區間；（2），令，通過它的導數研究的單調性，然后確定函數值，，從而說明有唯一零點（也可直接用零點存在定理確定，不必要研究單調性）；（3）首先確定，由（2）的唯一零點就是的最小值點，由可把用表示出來，接著計算，把用的代數式替換后得到一個的函數，然后再利用導數的知識求得最值．

試題解析：（1）當時，，由于，且時，；時，，所以在的單調遞減，在單調遞增

（2），令，所以

因為，所以，所以在單調遞增

因為，又

所以當時，，此時必有零點，且唯一；

當時，，而

故時，存在唯一零點

（3）由（2）可知存在唯一零點，設零點為

當時，；當時，，

故在的單調遞減，在單調遞增

所以當時，取得最小值，由條件可得，的最小值為

由于，所以

所以

設

則

令，得；令，得

故在的單調遞增，在單調遞減，所以

故的最大值是