Question

【題目】[選修4-4：坐標系與參數方程]
在直角坐標系xOy中，直線l1的參數方程為 ，（t為參數），直線l2的參數方程為 ，（m為參數）．設l1與l2的交點為P，當k變化時，P的軌跡為曲線C．（10分）
（1）寫出C的普通方程；
（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0，M為l3與C的交點，求M的極徑．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直線l1的參數方程為 ，（t為參數），

∴消掉參數t得：直線l1的普通方程為：y=k（x﹣2）①；

又直線l2的參數方程為 ，（m為參數），

同理可得，直線l2的普通方程為：x=﹣2+ky②；

聯立①②，消去k得：x2﹣y2=4，即C的普通方程為x2﹣y2=4；

（2）

∵l3的極坐標方程為ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0，

∴其普通方程為：x+y﹣ =0，

聯立 得： ，

∴ρ2=x2+y2= + =5．

∴l3與C的交點M的極徑為ρ= ．

【解析】解：（1.）分別消掉參數t與m可得直線l1與直線l2的普通方程為y=k（x﹣2）①與x=﹣2+ky②；聯立①②，消去k可得C的普通方程為x2﹣y2=4；
（2.）將l3的極坐標方程為ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0化為普通方程：x+y﹣ =0，再與曲線C的方程聯立，可得 ，即可求得l3與C的交點M的極徑為ρ= ．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用極坐標系和直線的參數方程的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平面內取一個定點O，叫做極點；自極點O引一條射線OX叫做極軸；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標系；經過點，傾斜角為的直線的參數方程可表示為（為參數）．