Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=ex（2x﹣3）﹣ax2+2ax+b，若函數(shù) f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1 ， x2 ， 且極小值點(diǎn)x1大于極大值點(diǎn)x2 ， 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】A
【解析】解：函數(shù)f（x）=ex（2x﹣3）﹣ax2+2ax+b，求導(dǎo)f′（x）=ex（2x﹣1）﹣2ax+2a， 由題意可知函數(shù) f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1 ， x2 ， 則y=ex（2x﹣1）與y=2a（x﹣1）有兩個(gè)交點(diǎn)，
則設(shè)切點(diǎn)（x0 ， （2x0﹣1）），y=2a（x﹣1）恒過點(diǎn)（1，0）
求導(dǎo)y′=ex（2x+1），令y′＞0時(shí)，解得x＞﹣ ，當(dāng)y′＜0，解得x＜﹣ ，
∴y=ex（2x﹣1）在（﹣∞，﹣ ）單調(diào)遞減，在（﹣ ，+∞）單調(diào)遞增；
則y=ex（2x﹣1）在（x0 ， （2x0﹣1））處的切線斜率k= （2x0+1），
則 （2x0+1）= ，整理得：2x02﹣3x0=1，解得：x0=0，或x0= ，
∴當(dāng)x0=0時(shí)，則k=1，即2a=1，a= ，
x0= ，則k=4 ，2a=4 ，a=2 ，
要使y=ex（2x﹣1）與y=2a（x﹣1）有兩個(gè)交點(diǎn)，
則0＜a＜ 或a＞2 ，
當(dāng)0＜a＜ ，f′（x）=0，則y=ex（2x﹣1）與y=2a（x﹣1）有兩個(gè)交點(diǎn)x1 ， x2 ，
令由函數(shù)圖象可知（﹣∞，x2）單調(diào)遞增，在（x2 ， x1）單調(diào)遞減，在（x1 ， +∞）單調(diào)遞增，
則當(dāng)x=x2時(shí)，取極大值，當(dāng)x=x1取極小值，且x2＜x1 ，
滿足極小值點(diǎn)x1大于極大值點(diǎn)x2 ，
同理可知：極小值點(diǎn)x1大于極大值點(diǎn)x2 ，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍（0， ）∪（2 ，+∞），
故選A．

【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值)．