Question

在數(shù)列中，，且.
(Ⅰ) 求，猜想的表達(dá)式，并加以證明；
(Ⅱ)設(shè)，求證：對(duì)任意的自然數(shù)都有.

Answer 1

(Ⅰ)  ， (Ⅱ)
所以
所以只需要證明
（顯然成立），所以命題得證

試題分析：(Ⅰ)容易求得：.          1分
故可以猜想.下面利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：
顯然當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立.                       2分
假設(shè)當(dāng)；時(shí)（也可以），結(jié)論也成立，即
,.                                  3分
那么當(dāng)時(shí)，由題設(shè)與歸納假設(shè)可知：
   4分
即當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立，綜上，對(duì),成立.       6分
(Ⅱ)，  8分
所以
.                              10分
所以只需要證明

（顯然成立）
所以對(duì)任意的自然數(shù)，都有.      12分
點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)歸納法用來(lái)證明與正整數(shù)有關(guān)的題目，證明步驟：1，證明當(dāng)時(shí)命題成立。2，假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，借此證明當(dāng)是命題成立，綜上1，2得證；數(shù)列求和常用的方法有分組求和裂項(xiàng)相消求和錯(cuò)位相減求和等