【題目】回答下列兩個問題, 并給出例子或證明.
(1)對任意正整數
, 在平面上是否都存在個不在同一條直線上的點, 使得任意兩點間的距離都為正整數?
(2)在平面上是否存在兩兩不同的無限點列組成的點集
, 使得內所有點不在同一條直線上, 且內任意兩點間的距離為正整數?
【答案】（1）存在.（2）不存在
【解析】
（1）存在.
對于任意的
（
），取互不相同的個質數
.
令
，
顯然，
.
令
，
于是，
.
在
軸上取點
，在
軸上取點
，
易知，這個點
，
不在同一條直線上，且
為整數
.
故
為整數.
（2）不存在.
若不然, 假設存在不共線的無限點列組成的點集
,且內任意兩點間的距離都為正整數.取不共線的三點
∈, 注意到,
到之間的整數值.
而一到之間的整數值總共只有有限個,
由雙曲線定義可知, 內除去三點的其余無限多個點必在以點A 和點B 為兩個焦點的有限條互不相交的雙曲線上, 稱它們為AB 族雙曲線.
同理, 內除去三點的其余無限多個點必在以點B 和點C 為兩個焦點的有限條互不相交的雙曲線上, 稱它們為BC族雙曲線.
由于三點不共線, 故兩族雙曲線的交點顯然只有有限個.
然而,內除去三點的其余無限多個點中的每個點既在AB 族雙曲線上,
又在BC 族雙曲線上,從而, 必在兩族雙曲線的交點上.而兩族雙曲線的交點個數有限, 矛盾.
奪冠金卷全能練考系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（1）6個人按下列要求站一橫排，甲、乙必須相鄰，有多少種不同的站法？
（2）6個人按下列要求站一橫排，甲不站左端，乙不站右端．有多少種不同的站法？
（3）用0，1，2，3，4，5這六個數字可以組成多少個六位數且是奇數（無重復數字的數）？
（4）用0，1，2，3，4，5這六個數字可以組成多少個個位上的數字不是5的六位數（無重復數字的數）？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數y＝f1（x），y＝f2（x），定義函數f（x）
．
（1）設函數f1（x）＝x+3，f2（x）＝x2﹣x，求函數y＝f（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下，g（x）＝mx+2（m∈R），函數h（x）＝f（x）﹣g（x）有三個不同的零點，求實數m的取值范圍；
（3）設函數f1（x）＝x2﹣2，f2（x）＝|x﹣a|，函數F（x）＝f1（x）+f2（x），求函數F（x）的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某親子公園擬建議廣告牌，將邊長為
米的正方形ABCD和邊長為1米的正方形AEFG在A點處焊接，AM、AN、GM、DN均用加強鋼管支撐，其中支撐鋼管GM、DN垂直于地面于M點和N點，且GM、DN、MN長度相等
不計焊接點大小
若
時，求焊接點A離地面距離；
若記
，求加強鋼管AN最長為多少？
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