Question

如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC．
（I）求證：平面PBE⊥平面PBD；
（II）若二面角P-AB-D為45°，求直線PA與平面PBE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I） 連接AC交BD于點(diǎn)F，取PB的中點(diǎn)N，連接EN，F(xiàn)N，先證出NE∥FC，再證出FC⊥面PBD，結(jié)合面面垂直的判定定理可證平面PBE⊥平面PBD．
（II）先證明∠PAD為二面角P-AB-D 的平面角，取BC中點(diǎn)G，連接EG 直線PA與平面PBE所成角轉(zhuǎn)化成直線EG與平面PBE所成角，運(yùn)用解三角形知識(shí)求 其正弦值．

解答：解：（I）連接AC交BD于點(diǎn)F，取PB的中點(diǎn)N，連接EN，F(xiàn)N．

∵FBD為的中點(diǎn)，∴NF∥PD，NF=

1

2

PD
又EC∥PD，EC=

1

2

PD
∴四邊形NFCE為平行四邊形
∴NE∥FC
∵DB⊥AC，PD⊥面ABCD，AC?面ABCD，∴AC⊥PD，
又PD∩BD=D，∴AC⊥PBD，即FC⊥面PBD
∴NE⊥面PBD．
（Ⅱ）∵AD⊥AB，PD⊥面ABCD，∴PD⊥AB，∴AB⊥面PAD
∴AB⊥PA．∴∠PAD為二面角P-AB-D 的平面角．．∴∠PAD=45°
設(shè)PD=AD=1，
取BC中點(diǎn)G，連接EG，可證 EG∥PA，∴直線EG與平面PBE所成角等于直線PA與平面PBE所成角． 
 設(shè)G到面PBE的距離為h，由V _G-PBE=V _P-EGB，得

1

3

h•S△PBE=

1

3

CD•S△EGB，CD=1  S_△EGB=

1

8

，S△_PBE=

6

4

，∴h=

1

2 6

，EG=

2

2

，
設(shè)直線EG與平面PBE所成角等于 θ，則sinθ=

h

EG

=

3

6

，∴直線PA與平面PBE所成角的正弦值為

3

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查面面位置關(guān)系、二面角、線面角的度量，考查分析解決問題、空間想象、轉(zhuǎn)化、計(jì)算的能力．