Question

【題目】已知點(diǎn) 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 是橢圓 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足直線 與直線 關(guān)于直線 對稱.
（1）證明直線 的斜率為定值，并求出這個(gè)定值；
（2）求 的面積最大時(shí)直線 的方程.

Answer 1

【答案】
（1）證明：設(shè)直線 方程為： ，代入 得

設(shè) ，因?yàn)辄c(diǎn) 在橢圓上，所以

又由題知，直線 的斜率與 的斜率互為相反數(shù)，在上式中以 代 ，可得
，
所以直線 的斜率
故答案為:直線 的斜率為定值，其值為
（2）解：由（1）可設(shè)直線 方程為： ，代入 得
，則 .由 可得 .
， 到直線 的距離 ，
可得 ，
當(dāng)且僅當(dāng) （滿足 ），即 時(shí)取等.
故答案為:直線 的方程為： ，或 .
【解析】(1)將直線方程代入橢圓方程中消去y得關(guān)于x的一元二次方程,由韋達(dá)定理得到兩根和與積,由斜率公式求斜率;
(2)將三角形的面積表示為m的函數(shù)式,由二次函數(shù)求最值.