Question

（本題滿分13分）已知函數，

（Ⅰ）若函數在上是減函數，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）令，是否存在實數，當（是自然常數）時，函數的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由；

（III）當時，證明：

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）在上恒成立，

       令 ，有  得   得 .

   （Ⅱ）假設存在實數，使（）有最小值3，

 

①當時，在上單調遞減，，（舍去），

②當時，在上單調遞減，在上單調遞增

，，滿足條件. 

③當時，在上單調遞減，，（舍去），

綜上，存在實數，使得當時有最小值3. 

（III）令，由（2）知，.令，，

當時，，在上單調遞增 

∴     即

 

【解析】略