Question

（本題滿分13分）已知△的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，且所在直線的斜率之積等于．

（Ⅰ）求頂點(diǎn)的軌跡的方程，并判斷軌跡為何種圓錐曲線；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為(不重合) 試問(wèn)：直線與軸的交點(diǎn)是否是定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1) 當(dāng)時(shí) 軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且除去兩點(diǎn)；

當(dāng)時(shí) 軌跡表示以為圓心半徑是１的圓，且除去兩點(diǎn)；

當(dāng)時(shí) 軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且除去兩點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)  軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，且除去兩點(diǎn)

(2) 直線過(guò)定點(diǎn) 

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由題知： 

化簡(jiǎn)得：                  ……………………………2分

當(dāng)時(shí) 軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且除去兩點(diǎn)；

當(dāng)時(shí) 軌跡表示以為圓心半徑是１的圓，且除去兩點(diǎn)；

當(dāng)時(shí) 軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且除去兩點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)  軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，且除去兩點(diǎn)；

……………………………6分

（Ⅱ）設(shè) 

依題直線的斜率存在且不為零，則可設(shè):，

代入整理得

，，               ………………………………9分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013041520530357039466/SYS201304152054058203968490_DA.files/image022.png">不重合，則

的方程為 令，

得

故直線過(guò)定點(diǎn).                        ……………………………13分

解二：設(shè)

依題直線的斜率存在且不為零，可設(shè):

代入整理得：

,，                ……………………………9分

的方程為  令，

得

直線過(guò)定點(diǎn)                        ……………………………13分

考點(diǎn)：考查了圓錐曲線方程，以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：解決含參數(shù)的曲線方程的問(wèn)題，主要是關(guān)注我們方程的特點(diǎn)來(lái)分類討論得到，同時(shí)能結(jié)合設(shè)而不求的思想求解坐標(biāo)，進(jìn)而求解直線方程，屬于中檔題。