Question

如圖，在五面體中，四邊形是邊長為的正方形，平面，，，，.

（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正切值.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

試題分析：（1）取的中點，先證明四邊形為平行四邊形得到，然后通過勾股定理證明從而得到，然后結合四邊形為正方形得到，最后利用直線與平面垂直的判定定理證明平面；（2）解法1是先取的中點，連接，利用（1）中的結論平面得到，利用等腰三角形三線合一得到，利用直線與平面垂直的判定定理得到平面，通過證明四邊形為平行四邊形得到，從而得到平面，從而得到，然后利用底面四邊形為正方形得到，由這兩個條件來證明平面，從而得到是直線與平面所成的角，然后在直角中計算，從而求出直線與平面所成角的正切值；解法2是先取的中點，連接，利用（1）中的結論平面得到，利用等腰三角形三線合一得到，利用直線與平面垂直的判定定理得到平面，然后選擇以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量法結合同角三角函數的基本關系求出線與平面所成角的正切值.
試題解析：（1）取的中點，連接，則，

由（1）知，，且，四邊形為平行四邊形，
，，
在中，，又，得，，
在中，，，，
，，，即，
四邊形是正方形，，
，平面，平面，平面；
（2）解法1：連接，與相交于點，則點是的中點，
取的中點，連接、、，

則，.
由（1）知，且，，且.
四邊形是平行四邊形.，且，
由（1）知平面，又平面，.
，，平面，平面，
平面.平面.
平面，.
，，平面，平面，平面.
是直線與平面所成的角.
在中，.
直線與平面所成角的正切值為；
解法2：連接，與相交于點，則點是的中點，
則，.由（1）知，且，，且.
四邊形是平行四邊形.
，且，
由（1）知平面，又平面，.
，，平面，平面，
平面.平面.
以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，
建立空間直角坐標系，則，，，.

，，.
設平面的法向量為，由，，
得，，得.
令，則平面的一個法向量為.
設直線與平面所成角為，
則.，.
直線與平面所成角的正切值為.