Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex ， g（x）=mx2+ax+b，其中m，a，b∈R，e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)． （I）函數(shù)h（x）=xf （x），當(dāng)a=l，b=0時(shí)，若函數(shù)h（x）與g（x）具有相同的單調(diào)區(qū)間，求m的值；
（II）記F（x）=f（x）﹣g（x）．當(dāng)a=2，m=0時(shí)，若函數(shù)F（x）在[﹣1，2]上存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=ex ， 函數(shù)h（x）=xf（x）， ∴h（x）=xex ， ∴h′（x）=ex+xex ，
∵h(yuǎn)′（x）=ex+xex=0，x=﹣1，
h′（x）=ex+xex＞0，x＞﹣1，
h′（x）=ex+xex＜0，x＜﹣1，
∴h（x）=xex ， （﹣∞，﹣1）上單調(diào)遞減，（﹣1，+∞）單調(diào)遞增，x=﹣1時(shí)h（x）取極小值，
∵當(dāng)a=1，b=0時(shí)g（x）=mx2+ax+b=mx2+x，若函數(shù)h（x）與g（x）具有相同的單調(diào)區(qū)間，
∴﹣ =﹣1，m= ；
（Ⅱ）當(dāng)m=0，a=2時(shí)，F(xiàn)（x）=ex﹣2x﹣b，
∴F′（x）=ex﹣2，
∵F′（x）=ex﹣2=0，x=ln2，
F′（x）=ex﹣2＞0，x＞ln2
F′（x）=ex﹣2＜0，x＜ln2，
∴F（x）在（﹣∞，ln2）上單調(diào)遞減，在（ln2，+∞）上單調(diào)遞增，
F（x）的最小值為F（ln2）=2﹣2ln2﹣b，
∵函數(shù)F（x）在[﹣1，2]上存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
∴2﹣2ln2﹣b＜0，F(xiàn)（﹣1）≥0，F(xiàn)（2）≥0，
解得出：b＞2﹣2ln2，b≤ +2，b≤e2﹣4，
即2﹣2ln2＜b≤ +2
【解析】（Ⅰ）求解導(dǎo)數(shù)得出：h（x）=xex ， （﹣∞，﹣1）上單調(diào)遞減，（﹣1，+∞）單調(diào)遞增，x=﹣1時(shí)h（x）去極小值．（Ⅱ）當(dāng)m=0時(shí)，記F（x）=f（x）﹣g（x）=ex﹣ax﹣b，F(xiàn)（x）在（﹣∞，ln2）上單調(diào)遞減，在（ln2，+∞）上單調(diào)遞增，F(xiàn)（x）的最小值為F（ln2）=2﹣2ln2﹣b，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)得出：2﹣2ln2﹣b＜0，F(xiàn)（﹣1）≥0，F(xiàn)（2）≥0．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題．