Question

記關于x的不等式

1+a

x+1

＞1（a＞0）的解集為P，函數(shù)f（x）=2^x+log₂（-x²+3x-2）的定義域為Q．
（1）若a=3時，求集合P；
（2）若Q∩P=Q，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將不等式整理得到

x-3

x+1

＜0，解出即可；
（2）先求出Q，再整理得到集合P，再依據(jù)集合的運算即可得到實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）由a=3得：

4

x+1

＞1，即

x-3

x+1

＜0，亦即（x+1）（x-3）＜0
解得-1＜x＜3，故P={x|-1＜x＜3}；
（2）由于函數(shù)f（x）=2^x+log₂（-x²+3x-2）的定義域為Q．
則Q即為-x²+3x-2＞0的解集{x|1＜x＜2}，
由

1+a

x+1

＞1，得到

x-a

x+1

＜0，亦即（x+1）（x-a）＜0
由于a＞0，則P={x|-1＜x＜a}
又由Q∩P=Q，則Q⊆P
故a≥2，即a的取值范圍是[2，+∞）．

點評：本題考查分式不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．