Question

已知某種植物種子每粒成功發芽的概率都為

1

3

，某植物研究所進行該種子的發芽實驗，每次實驗種一料種子，每次實驗結果相互獨立．假定某次實驗種子發芽則稱該次實驗是成功的，如果種子沒有發芽，則稱該次實驗是失敗的．若該研究所共進行四次實驗，設ξ表示四次實驗結束時實驗成功的次數與失敗的次數之差的絕對值；
（1）求隨機變量ξ的數學期望
（2）記“關于x的不等式 ξx²-ξx+1＞0的解集是實數集R”為事件A，求事件A發生的概率P（A）．

Answer 1

分析：（1）由題意知ξ的可能取值為0，2，4，p（ξ=0）=

C

2 4

(

1

3

)3(1-

1

3

)2 =

24

81

．P（ξ=2）=

c

3 4

(

1

3

)3(1-

1

3

)+

c

1 4

(

1

3

) (1-

1

3

)3=

40

81

．p（ξ=4）=

C

4 4

(

1

3

)  4+

C

0 4

(1-

1

3

)4=

17

81

，由此能求出隨機變量ξ的數學期望．
（2）由題意知：“不等式ξx²-ξx+1＞0的解集是實數R”為事件A．當ξ=0時，不等式化為1＞0，其解集是R，說明事件A發生；當ξ=2時，不等式化為2x²-2x+1＞0，△=-4＜0，所以解集是R，說明事件A發生；當ξ=4時，不等式化為4x²-4x+1＞0，其解集{x|x≠

1

2

}，說明事件A不發生．由此能求出事件A發生的概率P（A）．

解答：解：（1）由題意知ξ的可能取值為0，2，4，（2分）
∵“ξ=0”指的是實驗成功2次，失敗2次．（2分）
∴p（ξ=0）=

C

2 4

(

1

3

)3(1-

1

3

)2 =

24

81

．
“ξ=2”指的是實驗成功3次，失敗1次或實驗成功1次，失敗3次．
∴P（ξ=2）=

c

3 4

(

1

3

)3(1-

1

3

)+

c

1 4

(

1

3

) (1-

1

3

)3=

40

81

．
“ξ=4”指的是實驗成功4次，失敗0次或實驗成功0次，失敗4次．
∴p（ξ=4）=

C

4 4

(

1

3

)  4+

C

0 4

(1-

1

3

)4=

17

81

，（6分）
∴Eξ=0×

24

81

+2×

40

81

+4×

17

81

=

148

81

．
故隨機變量ξ的數學期望為

148

81

．（7分）
（2）由題意知：“不等式ξx²-ξx+1＞0的解集是實數R”為事件A．
當ξ=0時，不等式化為1＞0，其解集是R，說明事件A發生；
當ξ=2時，不等式化為2x²-2x+1＞0，
∵△=-4＜0，所以解集是R，說明事件A發生；
當ξ=4時，不等式化為4x²-4x+1＞0，其解集{x|x≠

1

2

}，
說明事件A不發生．（10分）
∴p（A）=p（ξ=0）+p（ξ=2）=

24

81

+

40

81

=

64

81

．（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，考查學生的運算能力，考查學生探究研究問題的能力，解題時要認真審題．對數學思維的要求比較高，要求學生理解“存在”、“恒成立”，以及運用一般與特殊的關系進行否定，本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．