Question

【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC, PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.

(1)求異面直線AP與BC所成角的余弦值.

(2)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

(1)由異面直線所成角的概念即可判斷就是它們的一個夾角，求的余弦值即可.

(2)過點D作AB的平行線交BC于點F，證明PD⊥平面PBC，從而可得∠DFP為直線DF和平面PBC所成角的一個平面角，解三角形PDF即可解決問題。

(1)因為AD∥BC,所以∠DAP或其補角就是異面直線AP與BC所成的角,

因為AD⊥平面PDC,所以AD⊥PD,

在Rt△PDA中,,

所以,cos∠DAP,

所以,異面直線AP與BC所成角的余弦值為 .

(2)過點D作AB的平行線交BC于點F,連接PF,則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角.

因為AD⊥平面PDC,AD∥BC，所以BC⊥平面PDC，

所以BC⊥PD，又PD⊥PB

所以PD⊥平面PBC,

故PF為DF在平面PBC上的射影,所以∠DFP為直線DF和平面PBC所成的角.

由于AD∥BC,DF∥AB,故BF=AD=1,由已知得：CF=BC-BF=2.又AD⊥DC,故BC⊥DC,

在Rt△DCF中,可得.

在Rt△DPF中,sin∠DFP=.

所以,直線AB與平面PBC所成角的正弦值為.